Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，一條直線與橢圓C交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求證：為定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見(jiàn)解析．

【解析】

（1）因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，再根據(jù)離心率，即可求得橢圓的方程；

（2）①若直線的斜率存在時(shí)，，，，與橢圓方程聯(lián)立，由可得，從而得到的關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，可證明結(jié)論；②若直線的斜率不存在，則有，可證結(jié)論也成立.

（1）因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，

又因?yàn)?/span>，則，由，得，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）①若直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立得：

，有，

由題意，，設(shè)，，

所以，．

因?yàn)橐?/span>為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，

由，得 ，

即，整理得，

，

而

設(shè)h為到的距離，則

所以，

而，

所以．

②若直線的斜率不存在，則有，

不妨設(shè)，設(shè)，有，

代入橢圓方程得，，

，

即，

綜上．