Question

如圖，已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁．
（1）線(xiàn)段A₁B上是否存在一點(diǎn)P，使得A₁B⊥平面PAC？若存在，確定P點(diǎn)的位置，若不存在，說(shuō)明理由；
（2）點(diǎn)P在A₁B上，若二面角C-AP-B的大小是arctan2，求BP的長(zhǎng)；
（3）Q點(diǎn)在對(duì)角線(xiàn)B₁D，使得A₁B∥平面QAC，求．

Answer 1

【答案】分析：（1）線(xiàn)段A₁B上不存在一點(diǎn)P，使得A₁B⊥平面PAC．用反證明法進(jìn)行證明．
（2）作出平面角∠BHC，由，知∠HAB=30°，在△ABP中用正弦定理可得BP=．
（3）A₁B∥平面D₁AC，Q是B₁D與平面ACD₁的交點(diǎn)，△B₁D₁Q∽△DOQ，由此能求出．
解答：解：（1）線(xiàn)段A₁B上不存在一點(diǎn)P，使得A₁B⊥平面PAC．
理由如下：
假設(shè)線(xiàn)段A₁B上是否存在一點(diǎn)P，使得A₁B⊥平面PAC．
結(jié)AC，則AC⊥A₁B．
∵AA₁⊥AC，
∴AC⊥面AA₁B₁B，
∴AC⊥AB，與∠BAC=45°矛盾．
∴線(xiàn)段A₁B上不存在一點(diǎn)P，使得A₁B⊥平面PAC．
（2）∵CB⊥平面ABP，作BN⊥AP，交AH延長(zhǎng)線(xiàn)與H，連接CH，
則∠BHC是二面角二面角C-AP-B平面角…（6分）
∵二面角C-AP-B的大小是arctan2，
∴tan∠BHC=，即，
∴∠HAB=30°…（8分）
在△ABP中，
∠PAB=30°，AB=1，∠PBA=45°，
∴∠APB=180°-30°-45°=105°，
由正弦定理，得，
∴
==．
∴BP=…（10分）
（3）∵A₁B∥平面D₁AC，
Q是B₁D與平面ACD₁的交點(diǎn)，…（12分）
△B₁D₁Q∽△DOQ，
∴…（14分）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查立體幾何的綜合運(yùn)用，考查考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．