【題目】已知直線、與曲線分別相交于點、,我們將四邊形稱為曲線的內(nèi)接四邊形.

1)若直線將單位圓分成長度相等的四段弧,求的值;

2)若直線與圓分別交于點、,求證:四邊形為正方形;

3)求證:橢圓的內(nèi)接正方形有且只有一個,并求該內(nèi)接正方形的面積.

【答案】1 2)證明見解析 3)證明見解析

【解析】

1)根據(jù)直線分圓分成長度相等的四段弧,得到,利用點到直線的距離公式進行求解即可.

2)根據(jù)直線與圓相交的位置關(guān)系,利用消元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程,根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系進行證明即可;

3)根據(jù)橢圓內(nèi)接正方形的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為一元二次方程,根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系進行證明即可.

解:(1)由于直線將單位圓分成長度相等的四段弧,

所以,

在等腰直角中,圓心到直線的距離為,∴,

同理,∴;

2)由題知,直線,關(guān)于原點對稱,因為圓的圓心為原點,

所以,故四邊形為平行四邊形.易知,點在對角線,上.

聯(lián)立解得,由,

所以

于是,因為,所以四邊形ABCD為正方形.

3)證明:假設(shè)橢圓存在內(nèi)接正方形,其四個頂點為,,

當(dāng)直線的斜率不存在時,設(shè)直線、的方程為,因為,,,在橢圓上,

所以,,

由四邊形為正方形,易知,,,直線、的方程為

正方形的面積

當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線、的方程分別為,

顯然.設(shè),,,,

聯(lián)立,所以

代人,得

同理可得,

因為為正方形,所以解得

因為,所以

因此,直線與直線關(guān)于原點對稱,

所以原點為正方形的中心(由,四邊形為平行四邊形

為正方形知

代入得,解得(注:此時四邊形為菱形)

為正方形知,

因為直線與直線的距離為,故

,

,與矛盾.

所以,這與矛盾.

即當(dāng)直線的斜率存在時,橢圓內(nèi)不存在正方形.

綜上所述,橢圓的內(nèi)接正方形有且只有一個,且其面積為

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1)請用抽樣的數(shù)據(jù)預(yù)估20207、8兩月健身客戶人均消費的金額(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);

2)若把20197、8兩月健身消費金額不低于800元的客戶,稱為健身達人,經(jīng)數(shù)據(jù)處理,現(xiàn)在列聯(lián)表中得到一定的相關(guān)數(shù)據(jù),請補全空格處的數(shù)據(jù),并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認為健身達人與性別有關(guān)?

健身達人

非健身達人

總計

10

30

總計

3)為吸引顧客,在健身項目之外,該健身館特別推出健身配套營養(yǎng)品的銷售,現(xiàn)有兩種促銷方案.

方案一:每滿800元可立減100元;

方案二:金額超過800元可抽獎三次,每次中獎的概率為,且每次抽獎互不影響,中獎1次打9折,中獎2次打8折,中獎3次打7.

若某人打算購買1000元的營養(yǎng)品,請從實際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析應(yīng)該選擇哪種優(yōu)惠方案.

附:

0.150

0.100

0.050

0.010

0.005

2.072

2.706

3.841

6.635

7.879

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