Question

求函數(shù)f（x）=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|2011x-1|（x∈R）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由絕對(duì)值的幾何意義聯(lián)想到求距離的最小值，如|x-a|+|x-b|的最小值應(yīng)該是在數(shù)軸上a，b兩點(diǎn)之間取得，最小值為|a-b|，
由此把函數(shù)f（x）整理為|x-1|+|x-

1

2

||+|x-

1

2

|+|x-

1

3

|+|x-

1

3

|+|x-

1

3

|+…+|x-

1

2011

|+|x-

1

2011

|+|x-

1

2011

|+…+|x-

1

2011

|，再用絕對(duì)值的意義解題．

解答： 解：由絕對(duì)值的幾何意義聯(lián)想到求距離的最小值，如|x-a|+|x-b|的最小值應(yīng)該是在數(shù)軸上a，b兩點(diǎn)之間取得，且最小值為|a-b|
所以將函數(shù)f（x）的右邊整理為|x-1|+|x-

1

2

||+|x-

1

2

|+|x-

1

3

|+|x-

1

3

|+|x-

1

3

|+…+|x-

1

2011

|+|x-

1

2011

|+|x-

1

2011

|+…+|x-

1

2011

|，
共有1+2+3+…+2011=1006×2011項(xiàng)，則f（x）可以理解為x 到這1006×2011個(gè)點(diǎn)的距離之和
從兩端開始向中間靠攏，每?jī)蓚�(gè)絕對(duì)值和的最小值都是在相應(yīng)的零點(diǎn)之間取得，而且范圍是包含關(guān)系，比如|x-1|+|x-

1

2011

|的
最小值是在x∈[

1

2011

，1]上取得，再如|x-

1

2

|+|x-

1

2011

|的最小值是在x∈[

1

2011

，

1

2

]上取得，
所以，f（x）的最小值應(yīng)該在正中間的某個(gè)零點(diǎn)或相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間取得，
由

1006×2011

2

=503×2011 可知取得最小值的范圍在第503×2011個(gè)零點(diǎn)和第503×2011+1個(gè)零點(diǎn)之間（這兩個(gè)零點(diǎn)也可能相等）
由

n×(n+1)

2

＜503×2011 算得n≤1421，
所以第503×2011個(gè)零點(diǎn)和第503×2011+1個(gè)零點(diǎn)均為

1

1422

則f_min=f（

1

1422

）=

592043

711

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要應(yīng)用絕對(duì)值的意義求解函數(shù)的最值，此等類型的題目應(yīng)合理轉(zhuǎn)化．