Question

已知g（x）=ax+2，f（x）=

2x-1，0≤x≤3 -x2，-1≤x＜0

，對(duì)?x₁∈[-1，3]，?x₀∈[-1，3]，使g（x₁）=f（x₀）恒成立，則a的取值范圍是（　�。�

• A、a≥-1
• B、-1≤a≤

  5

  3

• C、0＜a≤

  5

  3

• D、a≤

  5

  3

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：設(shè)A為函數(shù)g（x）=ax+2在[-1，3]上的值域，B為函數(shù)f（x）=

2x-1，0≤x≤3 -x2，-1≤x＜0

在[-1，3]上的值域，若?x₁∈[-1，3]，?x₀∈[-1，3]，使g（x₁）=f（x₀）恒成立，則A?B，進(jìn)而可求得a的范圍．

解答： 解：設(shè)A為函數(shù)g（x）=ax+2在[-1，3]上的值域，
B為函數(shù)f（x）=

2x-1，0≤x≤3 -x2，-1≤x＜0

在[-1，3]上的值域，
若?x₁∈[-1，3]，?x₀∈[-1，3]，使g（x₁）=f（x₀）恒成立，
則A?B，
當(dāng)x∈[-1，0）時(shí)，f（x）=-x²∈[-1，0）．
當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，f（x）=2^x-1∈[0，7]，
故B=[-1，7]，
當(dāng)a＜0時(shí)，A=[3a，-a]，此時(shí)

3a+2≥-1 -a+2≤7

，
解得：a∈[-1，0），
當(dāng)a=0時(shí)，A={2}，滿足條件；
當(dāng)a＞0時(shí)，A=[-a，3a]，此時(shí)

-a+2≥-1 3a+2≤7

，
解得：a∈（0，

5

3

]，
綜上-1≤a≤

5

3

，
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)，存在性問題，其中將已知轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)值域的包含關(guān)系，是解答的關(guān)鍵．