Question

如圖所示，某幾何體的直觀圖、側(cè)視圖與俯視圖如圖所示，正視圖為矩形，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE，AC交BD于點(diǎn)G．
（1）求證：AE∥平面BFD；
（2）求三棱錐C-BGF的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由線面垂直得CE⊥BF，由G、F分別是AC、BC中點(diǎn)，F(xiàn)G∥AE，由此能證明AE∥平面BFD．
（2）由V_C-BGF=V_G-BCF，利用等積法能求出三棱錐C-BGF的體積．

解答： （1）證明：∵ABCD是矩形，∴G是AC中點(diǎn)，
∵BF⊥平面ACE，∴CE⊥BF，
由三視圖知BC=BE=2，∴F是BC中點(diǎn)，
連結(jié)FG，得FG∥AE，
∴AE∥平面BFD．
（2）解：由（1）得FG∥AE，
由三視圖知AE⊥面BCE，
∴FG⊥面BCE，
在Rt△BCE中，BF=

1

2

CE=CF=

2

，
∴S_△CFB=

1

2

×

2

×

2

=1，
又FG=

1

2

AE=1，
∴V_C-BGF=V_G-BCF=

1

3

•S△CFB•FG=

1

3

×1×1=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查三棱錐體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．