如圖,側(cè)棱垂直底面的三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC位于平行四邊形ACDE中,AE=2,AC=AA1=4,∠E=60°,點B為DE中點.
(1)求證:平面A1BC⊥平面A1ABB1
(2)求A1C與平面A1ABB1所成的角的正弦值.
考點:直線與平面所成的角,平面與平面垂直的判定
專題:空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析:(1)要證明平面A1BC⊥平面A1ABB1,只要從平面A1BC中找一條直線和平面A1ABB1垂直即可,容易證明BC⊥平面ABB1A1,且BC?平面A1BC;
(2)根據(jù)(1)便知∠CA1B是A1C和平面ABB1A1所成的角,所以在Rt△CBA1中,求出BC,A1C的長度即可.
解答: 解:(1)證明:根據(jù)已知條件知:∠EBA=60°,∠DBC=30°;
∴∠ABC=90°,即BC⊥AB;
又AA1⊥底面ABC,BC?底面ABC;
∴AA1⊥BC即BC⊥AA1,AB∩AA1=A;
∴BC⊥平面ABB1A1,BC?平面A1BC;
∴平面A1BC⊥平面ABB1A1;
(2)由(1)知BC⊥平面ABB1A1,∴∠CA1B即是A1C和平面ABB1A1所成的角,且△CA1B是Rt△,∠CBA1=90°;
由已知條件及(1)知:AB=2,AC=AA1=4,∠ABC=∠A1AC=90°,∴BC=
12
,A1C=
32
;
sin∠CA1B=
12
32
=
6
4
點評:考查平角為180°,線面垂直的性質(zhì),線面垂直的判定定理,面面垂直的判定定理,線面角的定義.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

探究函數(shù)f(x)=x2+
3
x
的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某研究性學(xué)習(xí)小組對3月至7月連續(xù)100天晝夜溫差大小與某種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系進行研究,每天浸泡100顆種子的發(fā)芽情況統(tǒng)計如下表(1):
          表1
分組(單位:個)頻數(shù)頻率
[10,15)50.050
[15,20)200.200
[20,25)0.350
[25,30)30
[30,35)100.100
合計1001.00
(Ⅰ)頻率分布表中的①,②位置應(yīng)填什么數(shù)據(jù)?并補全頻率分布直方圖,作出頻率分布折線圖;根據(jù)頻率分布直方圖,估計100天里種子發(fā)芽的平均值;(8分)
(Ⅱ)下面是3月1日至5日每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù)的詳細記錄:
      表2
日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月2日
溫差(℃)101113128
發(fā)芽數(shù)(顆)2325302616
(i)請根據(jù)3月2日至3月4日的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程;
(ii)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆,則認為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(i)中所得的線性回歸方程是否可靠?(6分)
(參考公式:
?
b
=
n
i=1
xiyi-n
.
x
.
y
n
i=1
x
2
i
-n
.
x
2
a
=
.
y
-
b
.
x

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

求函數(shù)f(x)=log4(x2-4x+3)的單調(diào)區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知矩陣A=
2b
13
屬于特征值λ的一個特征向量為α=
1
-1

(1)求實數(shù)b,λ的值;
(2)若曲線C在矩陣A對應(yīng)的變換作用下,得到的曲線為C′:x2+2y2=2,求曲線C的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)=|x-3|+|x-4|.
(Ⅰ)解不等式f(x)≤2;
(Ⅱ)若對任意實數(shù)x∈[5,9],f(x)≤ax-1恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-x+2alnx
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)0<a<
1
8
時,判斷方程:f(x)=(a+1)x根的個數(shù)并說明理由;
(3)f(x)有兩個極值點x1,x2且x1<x2,證明:f(x2)>
-3-2ln2
8

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

經(jīng)過點A(-3,-
3
2
),傾斜角為α的直線l,與曲線C:
x=5cosθ
y=5sinθ
(θ為參數(shù))相交于B,C兩點.
(1)寫出直線l的參數(shù)方程,并求當α=
π
6
時弦BC的長;
(2)當A恰為BC的中點時,求直線BC的方程;
(3)當|BC|=8時,求直線BC的方程;
(4)當α變化時,求弦BC的中點的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

由0<lgx≤1可以推出x的范圍是
 

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