Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-x+2alnx
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）0＜a＜

1

8

時，判斷方程：f（x）=（a+1）x根的個數(shù)并說明理由；
（3）f（x）有兩個極值點x₁，x₂且x₁＜x₂，證明：f（x₂）＞

-3-2ln2

8

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）函數(shù)f（x）=

1

2

x²-x+2alnx的定義域為（0，+∞），且f′（x）=x-1+

2a

x

=

x2-x+2a

x

，
當△=1-8a≤0，即a≥

1

8

時，f′（x）≥0恒成立，
當△=1-8a＞0，且0＜a＜

1

8

，x∈（0，

1- 1-8a

2

）∪（

1+ 1-8a

2

，+∞）時，f′（x）＞0，x∈（

1- 1-8a

2

，

1+ 1-8a

2

）時，f′（x）＜0，
當a≤0，x∈（

1+ 1-8a

2

，+∞）時，f′（x）＞0，x∈（0，

1+ 1-8a

2

）時，f′（x）＜0，
進而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與導函數(shù)符號的關系，可得到f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）=（a+1）x，則

1

2

x²-（a+2）x+2alnx=0，令t（x）=

1

2

x²-（a+2）x+2alnx=0，利用導數(shù)法分析函數(shù)單調(diào)性和極值，進而判斷函數(shù)零點的個數(shù)，可判斷方程：f（x）=（a+1）x根的個數(shù)；
（3）由已知可得x₂=

1+ 1-8a

2

∈（

1

2

，1），分析f（x₂）在（

1

2

，1）上的單調(diào)性，進而可得結(jié)論．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

1

2

x²-x+2alnx的定義域為（0，+∞），
f′（x）=x-1+

2a

x

=

x2-x+2a

x

，
當△=1-8a≤0，即a≥

1

8

時，f′（x）≥0恒成立，
此時函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：（0，+∞），
當△=1-8a＞0，即a＜

1

8

時，
若0＜a＜

1

8

，
由x∈（0，

1- 1-8a

2

）∪（

1+ 1-8a

2

，+∞）時，f′（x）＞0，x∈（

1- 1-8a

2

，

1+ 1-8a

2

）時，f′（x）＜0得：
此時函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：（

1- 1-8a

2

，

1+ 1-8a

2

），單調(diào)遞增區(qū)間為：（0，

1- 1-8a

2

）和（

1+ 1-8a

2

，+∞）
若a≤0，
由x∈（

1+ 1-8a

2

，+∞）時，f′（x）＞0，x∈（0，

1+ 1-8a

2

）時，f′（x）＜0得：
此時函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：（0，

1+ 1-8a

2

），單調(diào)遞增區(qū)間為：（

1+ 1-8a

2

，+∞）
（2）若f（x）=（a+1）x，則

1

2

x²-（a+2）x+2alnx=0，
令t（x）=

1

2

x²-（a+2）x+2alnx=0，
則t′（x）=x-（a+2）+

2a

x

=

x2-(a+2)x+2a

x

=

(x-a)(x-2)

x

，
∵0＜a＜

1

8

，
故當x∈（0，a）∪（2，+∞）時，t′（x）＞0，當x∈（a，2）時，t′（x）＜0，
即t（x）在（0，a）和（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（a，2）上單調(diào)遞減，
當x=a時，函數(shù)取極大值，當x=2時函數(shù)取極小值，
∵t（a）＜0，t（10）＞0
故t（x）在（0，a）和（a，2）沒有零點，在（2，+∞）有唯一的零點，
∴t（x）有且只有一個零點，
即方程：f（x）=（a+1）x有且只有一個根，
（3）∵f（x）有兩個極值點x₁，x₂且x₁＜x₂，
∴f′（x）=0有兩個不同的根x₁，x₂且x₁＜x₂，
∴x²-x+2a=0有兩個不同的根x₁，x₂且x₁＜x₂，
∴x₁+x₂=1，x₁•x₂=2a，
∴2a=（1-x₂）•x₂，
由x₁＜x₂，可得：x₂=

1+ 1-8a

2

∈（

1

2

，1），
∵f（x）=

1

2

x²-x+2alnx=

1

2

x²-x+（x₁•x₂）lnx，
∴f（x₂）=

1

2

x₂²-x₂+（x₁•x₂）lnx₂，
∴f′（x₂）=x₂-1+（1-2x₂）lnx₂+

x2-x22

x2

=（1-2x₂）lnx₂，其中x₂∈（

1

2

，1），
∴f′（x₂）＞0，即f（x₂）在（

1

2

，1）上單調(diào)遞增，
∴f（x₂）＞f（

1

2

）=

-3-2ln2

8

點評：本題考查的知識點是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，是導數(shù)的綜合應用，運算量大，綜合性性，轉(zhuǎn)化困難，屬于難題．