Question

19．已知△ABC中，AB=4，AC=2，|λ$\overrightarrow{AB}$+（2-2λ）$\overrightarrow{AC}$|（λ∈R）的最小值為2$\sqrt{3}$，若P為邊AB上任意一點(diǎn)，則$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$的最小值是-$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)向量的數(shù)量積公式和向量的模的計(jì)算得到f（λ）=4$\sqrt{（2-2cosA）{λ}^{2}+（2cosA-2）λ+1}$，對cosA=0和cosA≠0，兩種情況加以討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值．

解答 解：由題意可知：丨$\overrightarrow{AB}$丨=4，丨$\overrightarrow{AC}$丨=2，
|λ$\overrightarrow{AB}$+（2-2λ）$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{[λ\overrightarrow{AB}+（2-2λ）\overrightarrow{AC}]^{2}}$=$\sqrt{{λ}^{2}丨\overrightarrow{AB}{丨}^{2}+2λ（2-2λ）\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+（2-2λ）^{2}丨\overrightarrow{AC}{丨}^{2}}$，
=$\sqrt{16{λ}^{2}+4（2-2λ）^{2}+2λ（2-2λ）×2×4cosA}$，
=4$\sqrt{（2-2cosA）{λ}^{2}+（2cosA-2）λ+1}$，
=f（λ），
當(dāng)cosA=0時(shí)，f（λ）=4$\sqrt{2{λ}^{2}-2λ+1}$=4$\sqrt{2（λ-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{2}}$≥2$\sqrt{2}$，
由2$\sqrt{3}$＞2$\sqrt{2}$，
∴A=$\frac{π}{2}$，
則建立直角坐標(biāo)系，A（0，0），B（4，0），C（0，2），
設(shè)P（x，0），（0＜x＜4），
$\overrightarrow{PB}$=（4-x，0），$\overrightarrow{PC}$=（-x，2），
∴$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=-x（4-x）=x²-4x=（x-2）²-4，
∴當(dāng)x=2時(shí)，$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$取最小值，最小值為：-4，
當(dāng)cosA≠0時(shí)，f（λ）=4$\sqrt{（2-2cosA）（λ-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1+cosA}{2}}$≥4$\sqrt{\frac{1+cosA}{2}}$=2$\sqrt{3}$，
整理得：1+cosA=$\frac{3}{2}$，解得：cosA=$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$，
∴建立直角坐標(biāo)系，A（0，0），B（4，0），C（1，$\sqrt{3}$），
設(shè)P（x，0），（0＜x＜4），
$\overrightarrow{PB}$=（4-x，0），$\overrightarrow{PC}$=（1-x，$\sqrt{3}$），
則$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=（4-x）•（1-x）=x²-5x+4=（x-$\frac{5}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
當(dāng)x=$\frac{5}{2}$時(shí)，$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$取最小值，最小值為：-$\frac{9}{4}$，
故$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$的最小值-$\frac{9}{4}$，
故答案為：-$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了向量的數(shù)量積公式和向量的模的計(jì)算以及二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵時(shí)分類討論，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．