Question

（2010•上饒二模）如圖，設(shè)三棱錐O-ABC的三條側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，三個(gè)側(cè)面與底面所成的二面角O-AB-C，O-BC-A，O-CA-B分別等于α₁，α₂，α₃．記△OAB，△OBC，△OCA，△ABC的面積分別為S₁，S₂，S₃，S，則下列四個(gè)命題：（1）S_i=Scosα_i（i=1，2，3）（2）若∠BAO=∠CAO=45°，則∠BAC=60°（3）S²=S₁²+S₂²+S₃²．（4）α₁，α₂，α₃的取值可以分別是30°，45°，60°．
其中正確命題的序號(hào)是

（1）（2）（3）

（填上所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：由題設(shè)知，cosαi=

Si

S

（i=1，2，3），所以S_i=Scosα_i（i=1，2，3）；由∠BAO=∠CAO=45°，知cos∠BAC=cos45°•cos45°=

1

2

，所以∠BAC=60°；設(shè)OA=a，OB=b，OC=c，H為垂心，故AD⊥BC，由OA、OB、OC兩兩垂直，知S₁²+S₂²+S₃²=

1

4

（ a² b²+b² c²+a² c²）=

1

4

a²（b²+c²）+

1

4

b² c²，由此能導(dǎo)出S₁²+S₂²+S₃²=

1

4

（b²+c²）•AD²=

1

4

BC²•AD²=S²；α₁，α₂，α₃的取值不可以分別是30°，45°，60°．

解答：解：由題設(shè)知，cosαi=

Si

S

（i=1，2，3），
∴S_i=Scosα_i（i=1，2，3），
故（1）成立；
∵∠BAO=∠CAO=45°，∴cos∠BAC=cos45°•cos45°=

1

2

，
∴∠BAC=60°，
故（2）成立；
如圖
設(shè)OA=a，OB=b，OC=c，
∵H為垂心∴AD⊥BC，
又∵OA、OB、OC兩兩垂直，
∴S₁=

1

2

ab，S₂=

1

2

bc，S₃=

1

2

ac  S=

1

2

BC•AD，
∴S₁²+S₂²+S₃²=

1

4

（ a² b²+b² c²+a² c²）=

1

4

a²（b²+c²）+

1

4

b² c²…①
又∵在Rt△BOC中，OD⊥BC，
∴OB²•OC²=b² c²=OD²•BC²=OD²•（b²+c²）…②
∴②代入①得：S₁²+S₂²+S₃²=

1

4

（b²+c²）•AD²=

1

4

BC²•AD²=S²．
故（3）成立．
α₁，α₂，α₃的取值不可以分別是30°，45°，60°．
故（4）不成立．
故答案為：（1）（2）（3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．