Question

已知拋物線y²=4x，點(diǎn)A為其上一動(dòng)點(diǎn)，P為OA的中點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且點(diǎn)P恒在拋物線C上，
（1）求曲線C的方程；
（2）若M點(diǎn)為曲線C上一點(diǎn)，其縱坐標(biāo)為2，動(dòng)直線L交曲線C與T、R兩點(diǎn)：
    ①證明：當(dāng)動(dòng)直線L恒過(guò)定點(diǎn)N（4，-2）時(shí)，∠TMR為定值；
    ②幾何畫板演示可知，當(dāng)∠TMR等于①中的那個(gè)定值時(shí)，動(dòng)直線L必經(jīng)過(guò)某個(gè)定點(diǎn)，請(qǐng)指出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)．（只需寫出結(jié)果，不必證明）

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用設(shè)P（x，y），則A（2x，2y），根據(jù)A在拋物線y²=4x上，可得結(jié)論；
（2）①求出M的坐標(biāo)，分類討論，利用向量知識(shí)，可得結(jié)論；②定點(diǎn)為N（4，-2）．

解答： （1）解：設(shè)P（x，y），則A（2x，2y）
∵A在拋物線y²=4x上，∴（2y）²=4（2x）即y²=2x
∴拋物線C的方程為y²=2x．------------------------------------------------（4分）
（2）①證明：∵M(jìn)點(diǎn)為曲線C上一點(diǎn)，其縱坐標(biāo)為2，
∴M（2，2）--------------------（5分）
當(dāng)直線L垂直x軸即為x=4時(shí)，T(4，2

2

)，R(4，-2

2

)
此時(shí)，kMT•kMR=

2 2 -2

2

•

2 2 +2

-2

=-1，所以∠TMR=

π

2

．
∴可以猜∠TMR=

π

2

-------------------------------------------．（8分）
顯然直線L不能與x軸平行，∴可以設(shè)直線L為x-4=m（y+2）T（x₁，y₁），R（x₂，y₂）
聯(lián)立y²=2x得到y(tǒng)²-2my-4m-8=0，y₁+y₂=2m，y₁y₂=-4m-8-------------（10分）

MT • MR =(x1-2，y1-2)•(x2-2，y2-2) =(x1-2，)(x2-2)+(y1-2)(y2-2) =(my1+2m+2)(my2+2m+2)+(y1-2)(y2-2) =(m2+1)y1y2+(2m2+2m-2)(y1+y2)+(2m+2)2+4 =(m2+1)(-4m-8)+(2m2+2m-2)2m+(2m+2)2+4 =0

∴∠TMR=

π

2

--------------------------------------------------------（13分）
②定點(diǎn)為N（4，-2）---------------------------------------------------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．