求下列函數(shù)在指定的閉區(qū)間上的最大值和最小值
(1)F(x)=2x3-17x2+42x-28,[1,5];
(2)G(x)=ex(x2-4x+3),[-3,2].
考點:利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)(2)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出.
解答: 解:(1)F′(x)=6x2-34x+42=2(x-
17-
37
6
)
(x-
17+
37
6
)
.x∈[1,5].
令F′(x)=0,解得x1=
17-
37
6
x2=
17+
37
6

列表如下:
 x[1,x1 x1 (x1,x2 x2 (x2,5]
 F′(x)+ 0- 0+
 F(x) 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增
由表格可知函數(shù)F(x)單調(diào)性,因此需要計算以下函數(shù)值:F(1)=-1,F(xiàn)(x2)>-1,因此F(x)的最小值為-1;F(5)=7,F(xiàn)(x1)<7,因此函數(shù)F(x)的最大值為7.
(2)G′(x)=ex(x2-2x-1)=ex[x-(1+
2
)][x-(1-
2
)]
,x∈[-3,2].
令G′(x)>0,解得-3≤x<1-
2
,此時函數(shù)G(x)單調(diào)遞增;
令G′(x)<0,解得1-
2
<x≤2
,此時函數(shù)G(x)單調(diào)遞減.
因此當(dāng)x=1-
2
時,函數(shù)G(x)取得最大值,G(1-
2
)
=e1-
2
(2+2
2
)

又G(-3)=
24
e3
,G(2)=-e2,
∴函數(shù)G(x)的最小值為-e2
點評:本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究閉區(qū)間上的函數(shù)的單調(diào)性極值與最值,考查了推理能力和計算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=x2+bln(x+1),其中b≠0.
(Ⅰ)當(dāng)b>
1
2
時,判斷函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的極值點.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=sin2x-cos(2x-
π
6
).
(1)求f(x)在區(qū)間[0,
π
2
]上的最大值和最小值;
(2)設(shè)α是銳角,f(
α
2
+
π
4
)=
3
5
,求sinα的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=xe -
x
a
(其中a∈R,a≠0,e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求f(x)在[0,1]上的最大值;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=kx2+(k-15)x-15(k>1,k∈N+),函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),若當(dāng)x>0時,2f′(-ax)>g(x)恒成立,求最大的正整數(shù)k.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)定義于閉區(qū)間[0,1],滿足f(0)=0,f(1)=1,且對任意x,y∈[0,1],x≤y,都有f(
x+y
2
)=(1-a2)f(x)+a2f(y),其中常數(shù)a滿足0<a<1,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
a
3
x3+
b
2
x2-a2x(a>0)
(1)若函數(shù)f(x)的圖象在x=2處的切線方程為y=7x-20,求a、b的值;
(2)設(shè)x1,x2是函數(shù)f(x)的兩個極值點,且|x1|+|x2|=2,試用a表示b2
(3)求證:|b|≤
4
3
9

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,S3+a1+a3=140,a1=31.
(1)求通項公式an;
(2)設(shè)Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Tn;
(3)是否存在最大的正整數(shù)λ,使得對任意n∈N*,都有
λ|an-34|+24
Tn
≤1?若存在,求出最大的正整數(shù)λ;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>0,b>0)的離心率為
5
3
,F(xiàn)1、F2分別是橢圓C的左、右焦點,點P(
3
2
,m)是橢圓上一點,且
PF1
PF2
=
1
4

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點Q(2,0)的直線交橢圓C于A、B兩點,O是坐標(biāo)原點,設(shè)
OM
=
OA
+
OB
,且|
OM
|=|
AB
|,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知線段AB和CD互相垂直平分于點O,|
AB
|=2|
CD
|=4,動點P滿足|
PA
|•|
PB
|=|
PC
|•|
PD
|,若以O(shè)為原點,CD所在的直線為x軸,則動點P的軌跡方程為
 

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