（本題滿分14分）已知四邊形滿足∥，，是的中點，將沿著翻折成，使面面，為的中點.

（Ⅰ）求四棱錐的體積；（Ⅱ）證明：∥面；
（Ⅲ）求面與面所成二面角的余弦值.

（Ⅰ）（Ⅱ）見解析（Ⅲ）

解析試題分析：（Ⅰ）取的中點連接，
因為，所以為等邊三角形，
所以，
又因為面面，所以面，                       ……2分
所以四棱錐的體積              ……5分

（Ⅱ）連接交于，連接，
因為為菱形，所以，
又為的中點，所以∥，
因為,,
所以∥面.                                                  ……9分
（Ⅲ）連接，分別以為軸建立空間直角坐標系.
則
,
                                 ……10分
設(shè)面的法向量，則，
令，則.
設(shè)面的法向量為，則，
令，則.                                        ……12分
則所以二面角的余弦值為       ……14分
考點：本小題主要考查線面平行、線面垂直、面面垂直的判定和證明，考查椎體體積公式的應(yīng)用和二面角的求法，考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力和運算求解能力.
點評：解答立體幾何的證明題，要把定理需要的條件意義列出來，缺一不可；求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分13分）如圖是某直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直)被削去上底后的直觀圖與三視圖的側(cè)視圖，俯視圖，在直觀圖中，M是BD的中點，N是BC的中點，側(cè)視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示.

（1）求該幾何體的體積；
（2）求證：AN∥平面CME；
（3）求證：平面BDE⊥平面BCD

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（12分）已知直三棱柱中，，點M是的中點，Q是AB的中點，
（1）若P是上的一動點，求證：；
（2）求二面角大小的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分14分）
在三棱錐中，和都是邊長為的等邊三角形，，分別是的中點．
(1)求證：平面；
(2)求證：平面⊥平面；
(3)求三棱錐的體積．

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如圖，四棱錐的底面是矩形，⊥平面，，.

(1)求證：⊥平面；
(2)求二面角余弦值的大��；
(3)求點到平面的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知四邊形滿足∥，，是的中點，將沿著翻折成，使面面，為的中點.

（Ⅰ）求四棱的體積；（Ⅱ）證明：∥面；
（Ⅲ）求面與面所成二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分14分）.如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，點D、E分別在棱PB、PC的中點，且DE∥BC.
(1)求證：DE∥平面ACD
(2)求證：BC⊥平面PAC；
(3)求AD與平面PAC所成的角的正弦值；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（1）（如圖）在底半徑為，母線長為的圓錐中內(nèi)接一個高為的圓柱，求圓柱的表面積

（2）如圖，在四邊形中，，，，，，求四邊形繞旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知圓錐的軸截面ABC是邊長為2的正三角形，O是底面圓心．
（Ⅰ）求圓錐的表面積；
（Ⅱ）經(jīng)過圓錐的高AO的中點O¢作平行于圓錐底面的截面，
求截得的圓臺的體積．

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