Question

下列四個命題：
（1）函數(shù)y=x+

1

x

的最小值是2；
（2）函數(shù)y=x²+

1

x2

的最小值是2；
（3）函數(shù)y=

x2+3

x2+2

的最小值是2；
（4）函數(shù)y=2-3x-

4

x

（x＞0）的最大值是2-4

3

．
其中錯誤的命題個數(shù)是（　　）

• A、2
• B、4
• C、3
• D、1

Answer 1

考點：基本不等式

專題：高考數(shù)學專題,簡易邏輯

分析：（1）分類求出函數(shù)的值域加以判斷；
（2）直接利用基本不等式求出函數(shù)的最小值判斷；
（3）把分式拆分后利用基本不等式求最值判斷；
（4）利用基本不等式求出函數(shù)的最值判斷．

解答： 解：（1）當x＞0時，y=x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，
當x＜0時，y=-(-x-

1

x

)≤-2

(-x)•(- 1 x )

=-2．
∴y=x+

1

x

的值域為（-∞，-2]∪[2，+∞），無最小值，故錯誤；
（2）y=x2+

1

x2

的值域為[2，+∞），最小值為2，正確；
（3）y=

x2+3

x2+2

=

x2+2

+

1

x2+2

≥2，
當且僅當

x2+2

=

1

x2+2

，即x²=-1，不成立，故錯誤；
（4）y=2-3x-

4

x

=2-(3x+

4

x

)≤2-2

12

=2-4

3

，故正確．
故選：A．

點評：本題考查了利用基本不等式求函數(shù)的最值，利用基本不等式求函數(shù)的最值注意：一正、二定、三相等，是中檔題．