Question

如圖所示，已知圓C：（x+1）²+y²=8，定點(diǎn)A（1，0），M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AM的垂直平分線與直線CM的交點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)P的軌跡曲線E的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀）是曲線E上任意一點(diǎn)，寫出曲線E在點(diǎn)P（x₀，y₀）處的切線l的方程；（不要求證明）
（3）直線m過切點(diǎn)P（x₀，y₀）與直線l垂直，點(diǎn)C關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)為D，證明：直線PD恒過一定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）利用點(diǎn)P是線段AM的垂直平分線與直線CM的交點(diǎn)，可得PA=PM，從而可得PA+PC=PM+PC，利用橢圓的定義，即可求點(diǎn)P的軌跡曲線E的方程；
（2）曲線E在點(diǎn)P（x₀，y₀）處的切線l的方程是

x0x

2

+y0y=1；
（3）直線m的方程為x₀（y-y₀）=2y₀（x-x₀），即2y₀x-x₀y-x₀y₀=0．求出點(diǎn)C關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)D的坐標(biāo)，確定直線PD的方程，化簡即可得出結(jié)論．

解答： （1）解：∵點(diǎn)P是線段AM的垂直平分線與直線CM的交點(diǎn)，
∴PA=PM，
∴PA+PC=PM+PC=2

2

＞AC=2，
∴動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C（-1，0），A（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓．
橢圓長軸長為2a=2

2

，焦距2c=2，
∴a=

2

，c=1，b=1，
∴曲線E的方程為

x2

2

+y2=1　　…5′
（2）解：曲線E在點(diǎn)P（x₀，y₀）處的切線l的方程是

x0x

2

+y0y=1．…8′
（3）證明：直線m的方程為x₀（y-y₀）=2y₀（x-x₀），即2y₀x-x₀y-x₀y₀=0．
設(shè)點(diǎn)C關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為D（m，n），
則

n m+1 =- x0 2y0 2y0• m-1 2 - x0n 2 -x0y0=0

，解得

m= 2x03+3x02-4x0-4 x02-4 n= 2x04+4x03-4x02-8x0 2y0(4-x02)

∴直線PD的斜率為k=

n-y0

m-x0

=

x04+4x03+2x02-8x0-8

2y0(-x03-3x02+4)

從而直線PD的方程為：y-y₀=

x04+4x03+2x02-8x0-8

2y0(-x03-3x02+4)

（x-x₀）
即x=

2y0(-x03-3x02+4)

x04+4x03+2x02-8x0-8

y+1，從而直線PD恒過定點(diǎn)A（1，0）．…16′

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，考查與橢圓的位置關(guān)系，考查直線恒過定點(diǎn)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．