Question

已知數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，a₁=1，a₄=8，在a_n和a_n+1之間插入b_n個數(shù)得到一個新數(shù)列{c_n}，已知b₁=1，{c_n}為等差數(shù)列
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由于a₁=1，a₄=8，利用通項公式可得8=1×q³，解得q=2．即可得出a_n．在a₁與a₂之間插入b₁=1個數(shù)x，使得1，x，2，為等差數(shù)列，
可得等差數(shù)列{c_n}的公差為

1

2

．設(shè)b_n=k，利用在a_n和a_n+1之間插入b_n個數(shù)得到一個新的等差數(shù)列{c_n}，可得2n=2n-1+(k+1)×

1

2

，解得k即可得出．
（2）由（1）利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，∵a₁=1，a₄=8，
∴8=1×q³，解得q=2．
∴an=2n-1．
在a₁與a₂之間插入b₁=1個數(shù)x，使得1，x，2，為等差數(shù)列，
則2x=1+2，解得x=

3

2

，因此等差數(shù)列{c_n}的公差為

1

2

．
設(shè)b_n=k，∵在a_n和a_n+1之間插入b_n個數(shù)得到一個新的等差數(shù)列{c_n}，
∴2n=2n-1+(k+1)×

1

2

，解得k=2ⁿ-1，
∴b_n=2ⁿ-1．
（2）數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=

2(2n-1)

2-1

-n
=2ⁿ⁺¹-2-n．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．