Question

如圖，橢圓Γ：

x2

4

+

y2

3

=1，動直線l₁：x=x₁（-2＜x＜0），點A₁，A₂分別為
橢圓Γ的左、右頂點，l₁與橢圓Γ相交于A，B兩點（點A在第二象限）．
（Ⅰ）求直線AA₁與直線A₂B交點M的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)動直線l₂：x=x₂（-2＜x＜2，x₁≠x₂）與橢圓Γ相交于C，D兩點，△OAB與△OCD的面積相等．證明：|OA|²+|OD|²為定值．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）求出直線A₁A的方程、直線A₂B的方程，聯(lián)立，結(jié)合點A（x₁，y₁）在橢圓Γ上，即可求直線AA₁與直線A₂B交點M的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)C（x₂，y₂），由△OAB與△OCD的面積相等，得|x1||y1|=|x2||y2|⇒x12•y12=x22•y22，結(jié)合點A，C均在橢圓上，即可證明結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₁，-y₁），又A₁（-2，0），A₂（2，0），
則直線A₁A的方程為：y=

y1

x1+2

(x+2)①
直線A₂B的方程為：y=

-y1

x1-2

(x-2)②
由①②得：y2=

-y12

x12-4

(x2-4)③
由點A（x₁，y₁）在橢圓Γ上，故可得

x12

4

+

y12

3

=1，
∴y12=3(1-

x12

4

)，代入③得：

x2

4

-

y2

3

=1(x＜-2，y＜0)

（Ⅱ）證明：設(shè)C（x₂，y₂），
由△OAB與△OCD的面積相等，得|x1||y1|=|x2||y2|⇒x12•y12=x22•y22，
因為點A，C均在橢圓上，
∴3x12(1-

x12

4

)=3x22(1-

x22

4

)
由x₁≠x₂，所以x12+x22=4．
∴y12+y22=3，
∴|OA|²+|OD|²=7為定值

點評：本題考查橢圓方程，考查三角形面積的計算，考查學生的計算能力，屬于中檔題．