Question

已知橢圓C₁：＝1，拋物線C₂：(y－m)²＝2px(p＞0)，且C₁、C₂的公共弦AB過橢圓C₁的右焦點(diǎn)．

(1)當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，求m、p的值，并判斷拋物線C₂的焦點(diǎn)是否在直線AB上；

(2)若p＝且拋物線C₂的焦點(diǎn)在直線AB上，求m的值及直線AB的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱． 　　所以m＝0，直線AB的方程為x＝1，從而點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，)或(1，－)． 　　因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上，所以＝2p，即p＝． 　　此時(shí)C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，該焦點(diǎn)不在直線AB上． 　　(2)當(dāng)C2的焦點(diǎn)在AB上時(shí)，由(1)知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)． 　　由，消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0　�、� 　　設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)(x2，y2)， 　　則x1、x2是方程①的兩根，x1＋x2＝． 　　因?yàn)锳B既是過C1的右焦點(diǎn)的弦，又是過C2的焦點(diǎn)的弦， 　　所以|AB|＝(2－x1)＋(2－x2)＝4－(x1＋x2)， 　　且|AB|＝(x1＋)＋(x2＋)＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋． 　　從而x1＋x2＋＝4－(x1＋x2)． 　　所以x1＋x2＝，即． 　　解得k2＝6，即k＝±． 　　因?yàn)镃2的焦點(diǎn)F′(，m)在直線y＝k(x－1)上，所以m＝k，即m＝或m＝－． 　　當(dāng)m＝時(shí)，直線AB的方程為y＝－(x－1)； 　　當(dāng)m＝－時(shí)，直線AB的方程為y＝(x－1)．