Question

證明不等式e^x＞x+1＞lnx，x＞0．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：構(gòu)造函數(shù)f（x）=e^x-x-1，x＞0及g（x）=x+1-lnx，x＞0，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得f（x）及g（x）的最小值即得，f（x）＞f（0）=0，g（x）≥g（1）＞0，不等式即可得證．

解答： 證明：①令f（x）=e^x-x-1，x＞0，
則f′（x）=e^x-1＞0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
∴對任意x∈（0，+∞），有f（x）＞f（0），
而f（0）=e⁰-0-1=0，∴f（x）＞0，
即e^x＞x+1．
②令g（x）=x+1-lnx，x＞0，
則g′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

；
令g′（x）=0，得x=1，
當(dāng)x變化時，g'（x），g（x）的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	↘	2	↗

∴g（x）_min=g（1）=2，即對任意x∈（0，+∞）有 g（x）≥g（1）＞0，
∴x+1＞lnx．
綜上當(dāng)x＞0時，有e^x＞x+1＞lnx．

點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式成立的知識，通過構(gòu)造函數(shù)法把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題解決，體會轉(zhuǎn)化劃歸思想的運用，屬難題．