Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3-ax2+4，且x=2是函數(shù)f（x）的一個極小值點(diǎn)．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[-1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)極值的定義得f'（2）=0，利用導(dǎo)數(shù)法求得即可；
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性并由函數(shù)的增減性求得函數(shù)的最值．

解答： （本小題滿分11分）
解：（Ⅰ）f'（x）=x²-2ax．…（2分）∵x=2是函數(shù)f（x）的一個極小值點(diǎn)，∴f'（2）=0．
即4-4a=0，解得a=1．…（4分）
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=1時，x=2是函數(shù)f（x）的一個極小值點(diǎn)．∴實(shí)數(shù)a的值為1．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=

1

3

x3-x2+4．f'（x）=x²-2x=x（x-2）．
令f'（x）=0，得x=0或x=2．…（6分）
當(dāng)x在[-1，3]上變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下：

x	-1	（-1，0）	0	（0，2）	2	（2，3）	3
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	8 3	↗	4	↘	8 3	↗	4

…（9分）
當(dāng)x=-1或x=2時，f（x）有最小值

8

3

；
當(dāng)x=0或x=3時，f（x）有最大值4．…（11分）

點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等知識，屬常規(guī)題目，中檔題．