Question

已知x，y∈R，2x+3y=13，則x²+y²+1的最小值為

 

．

Answer 1

分析：解法1：利用解析幾何的性質(zhì)可知3x+y=10表示直線的方程，則x²+y²表示直線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，推斷出原點(diǎn)到直線3x+y=10距離為直線的點(diǎn)到原點(diǎn)的最短距離，最后利用點(diǎn)到直線的距離求得問題的答案．
解法2：欲求x²+y²的最小值，根據(jù)它與條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，考慮利用柯西不等式解決．

解答：解法1：根據(jù)解析幾何的性質(zhì)可知，2x+3y=13表示直線的方程，
則x²+y²表示直線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，
由于原點(diǎn)到直線2x+3y=13距離為直線的點(diǎn)到原點(diǎn)的最短距離，
故x²+y²的最小值為（

|-13|

4+9

）²=13，
則x²+y²+1的最小值為14；
解法2：因?yàn)?x+3y=13，
所以利用柯西不等式得
（x²+y²）（2²+3²）≥（2x+3y）²，
即13（x²+y²）≥13²，
即x²+y²≥13，
當(dāng)且僅當(dāng)

3x=2y 2x+3y=13

即

x=2 y=3

時(shí)取等號(hào)，
即x²+y²的最小值為13．
則x²+y²+1的最小值為14．
故答案為：14

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了點(diǎn)到直線的距離的應(yīng)用，曲線方程與不等式的綜合．考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．要求學(xué)生嘗試?yán)�用多種方法來解題，培養(yǎng)了學(xué)生一題多解的能力．