Question

已知關(guān)于x的不等式kx²-2x+6k＜0，（k＞0）
（1）若不等式解集為∅，求實數(shù)k的取值范圍；
（2）若不等式的解集為集合{x|2＜x＜3}的子集，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法

專題：分類討論,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)題意，得△≤0且k＞0，由此求出k的取值范圍；
（2）設(shè)f（x）=kx²-2x+6k，原問題等價于△≤0或

f(2)≥0 f(3)≥0 2≤ 1 k ≤3

，由此求出k的取值范圍．

解答： 解：（1）∵不等式kx²-2x+6k＜0的解集為∅，
得△≤0，即4-24k²≤0；
解得k≤-

6

6

或k≥

6

6

，
又∵k＞0，∴k≥

6

6

；
∴實數(shù)k的取值范圍是k≥

6

6

； …（4分）
（2）∵不等式對應(yīng)的方程kx²-2x+6k=0的判別式為
△=4-24k²，
設(shè)f（x）=kx²-2x+6k，
則原問題等價于△≤0或

f(2)≥0 f(3)≥0 2≤ 1 k ≤3

；
由△≤0，即4-24k²≤0，
解得k≤-

6

6

或k≥

6

6

，
又∵k＞0，∴k≥

6

6

；
由

f(2)≥0 f(3)≥0 2≤ 1 k ≤3

，
即

10k-4≥0 15k-6≥0 2≤ 1 k ≤3

，
解得

2

5

≤k≤

1

2

；
綜上，符合條件的k的取值范圍是[

2

5

，+∞）．    …（12分）

點評：本題考查了含有字母系數(shù)的不等式的解法與應(yīng)用問題，也考查了不等式的恒成立問題，解題時應(yīng)對字母系數(shù)進(jìn)行分析、討論，是中檔題．