Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝，x∈[1，＋∞).

(1)當(dāng)a＝時(shí)，判斷并證明f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a＝－1時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】 (1)當(dāng)a＝時(shí)，f(x)＝＝x＋2＋＝x＋＋2.

函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)，證明如下：

設(shè)x1，x2是[1，＋∞)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1<x2，

則 .

因?yàn)?/span>，所以x1－x2<0，x1·x2>0，x1x2－>0，

所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).

所以函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù).

(2)當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝x－＋2.

由函數(shù)y1＝x和y2＝－在[1，＋∞)上都是單調(diào)遞增函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性的性質(zhì)，可得f(x)＝x－＋2在[1，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù).

當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得最小值f(1)＝1－1＋2＝2，

故函數(shù)f(x)的最小值為2.