Question

【題目】已知橢圓的右焦點是拋物線的焦點，直線與相交于不同的兩點．

（1）求的方程；

（2）若直線經過點，求的面積的最小值(為坐標原點)；

（3）已知點，直線經過點，為線段的中點，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）由題意方程求出右焦點坐標，即拋物線焦點坐標，進一步可得拋物線方程；

（2）設出直線方程，與拋物線方程聯立，化為關于y的一元二次方程，利用根與系數的關系求得|y1﹣y2|，代入三角形面積公式，利用二次函數求最值；

（3）分直線AB的斜率存在與不存在，證明有，可得CA⊥CB，又D為線段AB的中點，則|AB|＝2|CD|．

（1）∵橢圓的右焦點為，∴， ∴的方程為．

（2）（解法1）顯然直線的斜率不為零，設直線的方程為，

由，得，則，

∴當，即直線垂直軸時，的面積取到最小值，最小值為．

（解法2）若直線的斜率不存在，由，得，

的面積，

若直線的斜率存在，不妨設直線的方程為，

由，得，，且，

，

即的面積的最小值為．

（3）（解法1）∵直線的斜率不可能為零，設直線方程為，

由得，∴，

，

∴

，即，

在中，為斜邊的中點，所以．

（解法2）（前同解法1）

線段的中點的坐標為，

所以．