Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+

1

2

x²-（1+a）x．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：m、n∈N₊時(shí)，m（m+n）[

1

ln(m+n)

+

1

ln(m+n-1)

+

1

ln(m+n-2)

+…+

1

ln(m+1)

]＞n．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意先求函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)f′（x）=

a

x

+x-（1+a）=

(x-1)(x-a)

x

，從而討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)以確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由（2）知，當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，f（x）=-

1

2

lnx+

1

2

x²-

1

2

x≥0；當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立；從而可化出當(dāng)＞1時(shí)，

1

lnx

＞

1

x-1

-

1

x

；從而證明．

解答： 解：（1）f（x）=alnx+

1

2

x²-（1+a）x的定義域?yàn)閧x|x＞0}，
f′（x）=

a

x

+x-（1+a）=

(x-1)(x-a)

x

；
①當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）≥0，f（x）在定義域上是增函數(shù)；
②當(dāng)a＞1時(shí)，1＜x＜a時(shí)，f′（x）＜0，0＜x＜1或x＞a時(shí)，f′（x）＞0；
故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（1，a）；單調(diào)增區(qū)間為（0，1），（a，+∞）；
③當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a＜x＜1，f′（x）＜0，0＜x＜a或x＞1時(shí)，f′（x）＞0；
故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（a，1）；單調(diào)增區(qū)間為（0，a），（1，+∞）；
④當(dāng)a＜0時(shí)，0＜x＜1，f′（x）＜0，x＞1時(shí)，f′（x）＞0；
故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1）；單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）；
（2）證明：由（1）知，
當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，f（x）=-

1

2

lnx+

1

2

x²-

1

2

x≥0；
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立；
即lnx≤x²-x，
當(dāng)＞1時(shí)，

1

lnx

＞

1

x-1

-

1

x

；
故

1

ln(m+n)

+

1

ln(m+n-1)

+

1

ln(m+n-2)

+…+

1

ln(m+1)

＞

1

m+n-1

-

1

m+n

+

1

m+n-2

-

1

m+n-1

+…+

1

m

-

1

m+1

=

1

m

-

1

m+n

=

n

m(m+n)

；
故m（m+n）[

1

ln(m+n)

+

1

ln(m+n-1)

+

1

ln(m+n-2)

+…+

1

ln(m+1)

]＞n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及構(gòu)造函數(shù)證明不等式的方法應(yīng)用，屬于中檔題．