Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

2x+a，x＞2 x+a2，x≤2

，若f（x）的值域為R，是實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：f（x）是分段函數(shù)，在每一區(qū)間內(nèi)求f（x）的取值范圍，再求它們的并集得出值域；由f（x）的值域為R，得出a的取值范圍．

解答： 解：函數(shù)f（x）=

2x+a，x＞2 x+a2，x≤2

，
當(dāng)x＞2時，f（x）=2^x+a，在（2，+∞）上為增函數(shù)，f（x）∈（4+a，+∞）；
當(dāng)x≤2時，f（x）=x+a²，在（-∞，2]上為增函數(shù)，f（x）∈（-∞，2+a²]；
若f（x）的值域為R，則（-∞，2+a²]∪（4+a，+∞）=R，
則2+a²≥4+a，
即a²-a-2≥0
解得a≤-1，或a≥2，
則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1]∪[2，+∞）．
故答案為：（-∞，-1]∪[2，+∞）．

點評：本題考查了分段函數(shù)的值域問題和分類討論的數(shù)學(xué)思想，分段函數(shù)的值域是在區(qū)間內(nèi)求出函數(shù)的取值范圍，再求它們的并集即得出值域．