Question

已知函數(shù)f（x）=x²-cosx，若x₁，x₂∈[-

π

2

，

π

2

]，且f（x₁）＞f（x₂），則必有（　�。�

• A、x₁＞x₂
• B、x₁＞|x₂|
• C、x₁＜x₂
• D、|x₁|＞x₂

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：先研究函數(shù)的性質，觀察知函數(shù)是個偶函數(shù)，由于f′（x）=2x+sinx，在[0，

π

2

]上f′（x）＞0，可推斷出函數(shù)在y軸兩邊是左減右增，此類函數(shù)的特點是自變量離原點的位置越近，則函數(shù)值越小，欲使f（x₁）＞f（x₂）恒成立，只需x₁，到原點的距離比x₂，到原點的距離大即可，由此可得出|x₁|＞|x₂|，在所給三個條件中找符合條件的即可．

解答： 解：函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，f′（x）=2x+sinx，
當0＜x≤

π

2

時，0＜sinx≤1，0＜2x≤π，
∴f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在[0，

π

2

]上為單調增函數(shù)，
由偶函數(shù)性質知函數(shù)在[-

π

2

，0]上為減函數(shù)．
∵f（|x₁|）＞f（|x₂|），函數(shù)f（x）在[0，

π

2

]上為單調增函數(shù)，
∴|x₁|＞|x₂|≥x₂，
由函數(shù)f（x）在上[-

π

2

，

π

2

]為偶函數(shù)得f（x₁）＞f（x₂），故D成立．
∵

π

3

＞-

π

3

，而f（

π

3

）=f（-

π

3

），
∴A不成立，同理可知B，C不成立．
故選：D．

點評：本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，函數(shù)性質的合理運用．