Question

已知函數(shù)f（x）=a-

1

2x+1

（1）若f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，求a的值；
（2）用定義證明f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，則f（-x）+f（x）=0，即a-

1

2-x+1

+a-

1

2x+1

=0，化簡(jiǎn)即可得到a；
（2）運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明，注意作差、變形和定符號(hào)、下結(jié)論幾個(gè)步驟．

解答： （1）解：f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
則f（-x）+f（x）=0，即a-

1

2-x+1

+a-

1

2x+1

=0，
即有2a=

2x

1+2x

+

1

2x+1

=1，解得，a=

1

2

；
（2）證明：f（x）=

1

2

-

1

2x+1

，
設(shè)m＜n，則f（m）-f（n）=

1

2

-

1

2m+1

-（

1

2

-

1

2n+1

）
=

2m-2n

(2m+1)(2n+1)

，
由于m＜n，則2^m＜2ⁿ，2^m＞0，2ⁿ＞0，則f（m）-f（n）＜0，
即有f（m）＜f（n），
則f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷及運(yùn)用，注意定義法的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．