Question

17、如圖，已知四邊形ABCD 是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)．
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）求證：MN⊥DC．

Answer 1

分析：（1）令E為PD的中點(diǎn)，連接AE，NE，根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理，及中點(diǎn)的定義，我們易判斷MN∥AE，結(jié)合線(xiàn)面平行的判定定理，即可得到MN∥平面PAD；
（2）根據(jù)已知中，四邊形ABCD 是矩形，PA⊥平面ABCD，我們易結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定定理，得到DC⊥平面PAD，進(jìn)而得到DC⊥AE，由（1）中AE∥MN，根據(jù)兩條平行線(xiàn)與同一條直線(xiàn)的夾角相等，即可得到結(jié)論．

解答：證明：（1）設(shè)PD的中點(diǎn)為E，連AE，NE，
則易得四邊形AMNE是平行四邊形
則MN∥AE，MN?平面PAD，AE?平面PAD
所以MN∥平面PAD
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD
∴PA⊥CD
又AD⊥CD，PA∩DA=A
∴CD⊥平面PAD
∵AE?平面PAD
∴CD⊥AE
∵M(jìn)N∥AE
∴MN⊥DC

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線(xiàn)與平面平行的判定，直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)，其中熟練掌握線(xiàn)面平行及線(xiàn)面垂直的判定定理及證明步驟是解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．