Question

13．若函數(shù)f（x）=ax³-x²+4x+3恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-2，0）∪（0，$\frac{14}{243}$）．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到a≠0，△＞0，令f′（x），求出方程f′（x）=0的根，通過通過a的范圍，得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：由題意可得：f′（x）=3ax²-2x+4，
若函數(shù)f（x）=ax³-x²+4x+3恰有三個(gè)零點(diǎn)，
則f′（x）=0有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
故△=4-48a＞0，
令f′（x）=0，解得：x=$\frac{1±\sqrt{1-12a}}{3a}$，
a＞0時(shí)，x₁=$\frac{1-\sqrt{1-12a}}{3a}$＜x₂=$\frac{1+\sqrt{1-12a}}{3a}$，
只需$\left\{\begin{array}{l}{f{（x}_{1}）＞0}\\{f{（x}_{2}）＜0}\end{array}\right.$，解得：0＜a＜$\frac{14}{243}$，
a＜0時(shí)，x₁=$\frac{1+\sqrt{1-12a}}{3a}$＜x₂=$\frac{1-\sqrt{1-12a}}{3a}$，
只需$\left\{\begin{array}{l}{f{（x}_{1}）＞0}\\{f{（x}_{2}）＜0}\end{array}\right.$，解得：-2＜a＜0，
故答案為：（-2，0）∪（0，$\frac{14}{243}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．