Question

3．已知向量|$\overrightarrow{e}$|=1，向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{e}$=1，$\overrightarrow$$•\overrightarrow{e}$=2，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2，則$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$的最小值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)向量$\overrightarrow{a}$與向量$\overrightarrow{e}$的夾角為α，$\overrightarrow$與$\overrightarrow{e}$的夾角為β，根據(jù)向量的數(shù)量積公式和向量的模表示出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{co{s}^{2}α}$+$\frac{4}{co{s}^{2}β}$）-2，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案．

解答 解：設(shè)向量$\overrightarrow{a}$與向量$\overrightarrow{e}$的夾角為α，$\overrightarrow$與$\overrightarrow{e}$的夾角為β，
∵$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{e}$=1，$\overrightarrow$$•\overrightarrow{e}$=2，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2，|$\overrightarrow{e}$|=1，
∴（$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{e}$）²=$\overrightarrow{a}$²cos²α=1，（$\overrightarrow$$•\overrightarrow{e}$）²=$\overrightarrow$4cos²β=4，
∴|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|²=$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow$²-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=4，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow$²）-2=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{co{s}^{2}α}$+$\frac{4}{co{s}^{2}β}$）-2，
當(dāng)cos²α=cos²β=1時(shí)，有最小值，
∴$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$的最小值為$\frac{1}{2}$（1+4）-2=$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算，關(guān)鍵是構(gòu)造三角函數(shù)，屬于中檔題．