Question

【題目】已知函數(shù) .

（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

【解析】試題分析：

（1）分類討論：當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?/span>，，令得：，，則的單調(diào)遞增區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?/span>，，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)， .的單調(diào)遞增區(qū)間為和.

（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，在處取極大值，處取極小值.，，即時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，令在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），則：

時(shí)，在有兩個(gè)零點(diǎn).時(shí)，在有兩個(gè)零點(diǎn).時(shí)，函數(shù)在有一個(gè)零點(diǎn).故當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

試題解析：

（1）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?/span>，

，令得：

，，

∴的單調(diào)遞增區(qū)間為.

當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?/span>， ，

當(dāng)即時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，

當(dāng)，即時(shí)， .

的單調(diào)遞增區(qū)間為和.

（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增，，

故只有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，在處取極大值，處取極小值.

由知，而，則，

，

∵，∴，∴，

∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，

令，

，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

，∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），

i）時(shí)，

，，，

由（1）函數(shù)單調(diào)性知，，所以函數(shù)在存在零點(diǎn)，

∴在有兩個(gè)零點(diǎn).

ii）時(shí)，

，，，

同理可得函數(shù)在存在零點(diǎn)，

∴在有兩個(gè)零點(diǎn).

iii）時(shí)，

，函數(shù)在有一個(gè)零點(diǎn).

綜上所述：

當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)且時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).