Question

．(本小題滿分13分)
以橢圓：的中心為圓心，為半徑的圓稱為該橢圓的“準(zhǔn)圓”.設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，且滿足，.
（Ⅰ）求橢圓及其“準(zhǔn)圓”的方程；
（Ⅱ）若橢圓的“準(zhǔn)圓”的一條弦（不與坐標(biāo)軸垂直）與橢圓交于、兩點(diǎn)，試證明：當(dāng)時(shí)，試問弦的長是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）橢圓的方程為；橢圓的“準(zhǔn)圓”方程為.
（Ⅱ）弦的長為定值.

本試題主要是考查了圓錐曲線方程的求解以及直線與圓錐曲線你的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。體現(xiàn)了運(yùn)用代數(shù)的方法解決解析幾何的本質(zhì)思想
（1）因?yàn)橐詸E圓：的中心為圓心，為半徑的圓稱為該橢圓的“準(zhǔn)圓”.設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，且滿足，.可知系數(shù)a,c關(guān)系式，再結(jié)合a,b,,c關(guān)系求解得到結(jié)論。
（2）假設(shè)弦的長是為定值，那么由于橢圓的“準(zhǔn)圓”的一條弦（不與坐標(biāo)軸垂直）與橢圓交于、兩點(diǎn)，并且時(shí)，聯(lián)立方程組結(jié)合韋達(dá)定理和向量的垂直關(guān)系得到結(jié)論。
解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)，由得，又，即且，所以，
則橢圓的方程為；橢圓的“準(zhǔn)圓”方程為.………6分
（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，且與橢圓的交點(diǎn)，
聯(lián)列方程組  代入消元得： 
由                     ………8分
可得 由得即， 所以………10分
此時(shí)成立，
則原點(diǎn)到弦的距離,
得原點(diǎn)到弦的距離為，則，
故弦的長為定值. ……………………………13分