Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為DD₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BD₁∥平面AEC；
（Ⅱ）求證：BD₁⊥平面ACB₁．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）設(shè)AC∩BD=O，則O為BD的中點(diǎn)，連結(jié)EO，由已知得EO∥BD₁，由此能證明BD₁∥平面AEC．
（Ⅱ）正方形ABCD中，BD⊥AC，由已知得DD₁⊥AC，從而AC⊥BD₁，同理可證AB₁⊥BD₁，由此能證明BD₁⊥平面ACB₁．

解答： 證明：（Ⅰ）設(shè)AC∩BD=O，則O為BD的中點(diǎn)，連結(jié)EO，
∵EO為△D₁DB的中位線，
∴EO∥BD₁，
又EO?平面AEC，BD₁不包含于平面AEC，
∴BD₁∥平面AEC．
（Ⅱ）正方形ABCD中BD⊥AC，
∵DD₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴DD₁⊥AC，
∵DD₁∩DB=D，∴AC⊥平面D₁DB，
且D₁B?平面D₁DB，∴AC⊥BD₁，
同理可證AB₁⊥BD₁，又AC∩AB₁=A，
∴BD₁⊥平面ACB₁．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面垂直的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．