Question

已知

a

=（cosx，2），

b

=（4cosx，

3

sin2x）且F（x）=

a

•

b

，求：
（1）F（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[-

π

3

，

π

3

]時，F(xiàn)（x）的最值；
（3）F（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先，結(jié)合F（x）=

a

•

b

，得到F（x）=4sin（2x+

π

6

）+2；
（2）結(jié)合x∈[-

π

3

，

π

3

]，得到2x+

π

6

∈[-

π

2

，

5π

6

]，然后，根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求解其最大值和最小值；
（3）直接結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解．

解答： 解：（1）∵F（x）=

a

•

b

，
∴F（x）=4cos²x+2

3

sin2x
=4×

1+cos2x

2

+2

3

sin2x
=2+2cos2x+2

3

sin2x
=4（

1

2

cos2x+

3

2

sin2x）+2
=4sin（2x+

π

6

）+2，
∴F（x）=4sin（2x+

π

6

）+2，
∴F（x）的解析式：F（x）=4sin（2x+

π

6

）+2，
（2）∵x∈[-

π

3

，

π

3

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

2

，

5π

6

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-1，1]，
∴F（x）的最大值為6，最小值為-2，
（3）令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，
增區(qū)間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，（k∈Z），
令

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，
∴

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，
減區(qū)間為[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]，（k∈Z）．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、輔助角公式等知識，屬于中檔題．