Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n²+a_n-

1

4

（n∈N^*）
（1）證明：數(shù)列{lg（a_n+

1

2

）是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記數(shù)列{b_n}滿足

1

4bn

=

anan+1

4an2-1

，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）將a_n+1=a_n²+a_n-

1

4

化為：a_n+1+

1

2

=(an+

1

2

)2，利用對數(shù)的運算和等比數(shù)列的定義進行證明，再由等比數(shù)列的通項公式求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由a_n+1=a_n²+a_n-

1

4

得a_n²-

1

4

=a_n+1-a_n，代入已知的式子化簡可得：

1

bn

=

anan+1

an+1-an

，再兩邊取倒數(shù)求出
b_n，利用裂項相消法求出數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

解答： 證明：（1）因為a_n+1=a_n²+a_n-

1

4

（n∈N^*），所以a_n+1+

1

2

=a_n²+a_n+

1

4

=(an+

1

2

)2，
則

lg(an+1+ 1 2 )

lg(an+ 1 2 )

=

lg(an+ 1 2 )2

lg(an+ 1 2 )

=2，
又a₁=2，則lg（a₁+

1

2

）=lg

5

2

，
所以數(shù)列{lg（a_n+

1

2

）}是以lg

5

2

為首項、2為公比的等比數(shù)列，
則lg（a_n+

1

2

）=lg

5

2

•2n-1，所以a_n+

1

2

=10lg

5

2

•2n-1=(

5

2

)2n-1
則a_n=(

5

2

)2n-1-

1

2

；
解：（2）由a_n+1=a_n²+a_n-

1

4

得，a_n²-

1

4

=a_n+1-a_n，
則

1

4bn

=

anan+1

4an2-1

=

1

4

•

anan+1

an2- 1 4

=

1

4

•

anan+1

an+1-an

，
所以

1

bn

=

anan+1

an+1-an

，即b_n=

1

an

-

1

an+1

，
所以數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=（

1

a1

-

1

a2

）+（

1

a2

-

1

a3

）+…+（

1

an-1

-

1

an

）
=

1

a1

-

1

an

=

1

2

-

1

( 5 2 )2n-1- 1 2

．

點評：本題考查數(shù)列的遞推式，等比數(shù)列的定義、通項公式，對數(shù)的運算，以及裂項相消法求出數(shù)列的前n項和，考查轉(zhuǎn)化思想和靈活變形能力．