Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，
（I）若a=-2時，函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，求b的取值范圍；
（Ⅱ）在（I）的結(jié)論下，設(shè)φ（x）=e^2x+be^x，x∈[0，ln2]，求函數(shù)φ（x）的最小值；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)f（x）的圖象C₁與函數(shù)g（x）的圖象C₂交于點(diǎn)P、Q，過線段PQ的中點(diǎn)R作x軸的垂線分別交C₁、C₂于點(diǎn)M、N，問是否存在點(diǎn)R，使C₁在M處的切線與C₂在N處的切線平行？若存在，求出R的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)a=-2時，函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，知道h′（x）在其定義域內(nèi)大于等于零，得到一個關(guān)于b的不等式，解此不等式即得b的取值范圍；
（II）先設(shè)t=e^x，將原函數(shù)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，最后將原函數(shù)φ（x）的最小值問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值問題即可；
（III）先假設(shè)存在點(diǎn)R，使C₁在M處的切線與C₂在N處的切線平行，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率進(jìn)而得出切線的方程，后利用斜率相等求出R的橫坐標(biāo)，如出現(xiàn)矛盾，則不存在；若不出現(xiàn)矛盾，則存在．
解答：解：（I）依題意：h（x）=lnx+x²-bx．
∵h(yuǎn)（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴對x∈（0，+∞）恒成立，
∴，∵x＞0，則．
∴b的取值范圍是．
（II）設(shè)t=e^x，則函數(shù)化為y=t²+bt，t∈[1，2]．
∵．
∴當(dāng)，即時，函數(shù)y在[1，2]上為增函數(shù)，
當(dāng)t=1時，y_min=b+1；當(dāng)1＜-＜2，即-4＜b＜-2時，當(dāng)t=-時，；
，即b≤-4時，函數(shù)y在[1，2]上是減函數(shù)，
當(dāng)t=2時，y_min=4+2b．
綜上所述：
（III）設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)是（x₁，y₁），（x₂，y₂），且0＜x₁＜x₂．
則點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)為．
C₁在點(diǎn)M處的切線斜率為．
C₂在點(diǎn)N處的切線斜率為．
假設(shè)C₁在點(diǎn)M處的切線與C₂在點(diǎn)N處的切線平行，則k₁=k₂．
即．則
=，
∴設(shè)，則，（1）
令，則，
∵u＞1，∴r′（u）＞0，
所以r（u）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
故r（u）＞r（1）=0，則，與（1）矛盾！
點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、兩條直線平行的判定等基礎(chǔ)知識，屬于中檔題．