Question

已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和是S_n，S₁₈：S₉=7：8
（Ⅰ）求證：S₃，S₉，S₆依次成等差數(shù)列；
（Ⅱ）a₇與a₁₀的等差中項是否是數(shù)列{a_n}中的項？，如果是，是{a_n}中的第幾項？如果不是，請說明理由．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的通項公式,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）易得公比q≠1，進而可由等比數(shù)列的求和公式結(jié)合已知可得q的方程，再代入求和公式可得S₃，S₉，S₆的值，驗證可得2S₉=S₃+S₆，可得等差數(shù)列；
（Ⅱ）可得等差中項等于

a1

16

，結(jié)合通項公式可得n的方程，解方程可得．

解答： 解：（Ⅰ）證明：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
若q=1，則S₁₈=18a₁，S₉=9a₁，不滿足S₁₈：S₉=7：8，故q≠1；
∴S₁₈=

a1

1-q

（1-q¹⁸），S₉=

a1

1-q

（1-q⁹），
∵S₁₈：S₉=7：8，∴1+q⁹=

7

8

，解得q³=-

1

2

，
∴S₃=

a1

1-q

（1-q³）=

3

2

•

a1

1-q

，
同理可得S₉=

9

8

•

a1

1-q

，S₆=

3

4

•

a1

1-q

，
∴2S₉=S₃+S₆，
∴S₃，S₉，S₆依次成等差數(shù)列；
（Ⅱ）∵a₇與a₁₀的等差中項等于

a7+a10

2

=

a1(2-2-2-3)

2

=

a1

16

，
設(shè)a₇與a₁₀的等差中項是否是數(shù)列{a_n}中的第n項，則a₁（-2-

1

3

）^n-1=

a1

16

，
化簡可得(-2)-

n-1

3

=（-2）^-4，即-

n-1

3

=-4，解得n=13，
∴a₇與a₁₀的等差中項是否是數(shù)列{a_n}中的第13項

點評：本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式，涉及分類討論的思想，屬中檔題．