Question

10．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且${a_3}=\frac{3}{2}$，${S_3}=\frac{9}{2}$．
（1）若a₃，m，S₃成等比數(shù)列，求m值；      
（2）求a₁的值．

Answer 1

分析 （1）由a₃，m，S₃成等比數(shù)列，得m²=a₃•S₃，由此能求出m的值．
（2）設等比數(shù)列{a_n}公比為q，由q=1和q≠1兩種情況分類討論，能求出首項．

解答 解：（1）因為a₃，m，S₃成等比數(shù)列，所以 m²=a₃•S₃…（1分）
因為${a_3}=\frac{3}{2}$，${S_3}=\frac{9}{2}$，所以 ${m^2}=\frac{27}{4}$…（2分）
所以$m=±\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$…（4分）
（2）設等比數(shù)列{a_n}公比為q，
①當q=1時，${a_1}={a_2}={a_3}=\frac{3}{2}$，此時${S_3}=\frac{9}{2}$，滿足題意，…（6分）
②當q≠1時，依題意得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}{q^2}=\frac{3}{2}\\ \frac{{{a_1}（1-{q^3}）}}{1-q}=\frac{9}{2}\end{array}\right.$…（8分）
解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=6\\ q=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，綜上可得${a_1}=\frac{3}{2}$或a₁=6．…（12分）

點評 本題考查實數(shù)值的求法，考查數(shù)列的首項的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的性質的合理運用．