設(shè)非常數(shù)數(shù)列{an}滿足an+2=,n∈N*,其中常數(shù)α,β均為非零實數(shù),且α+β≠0.
(1)證明:數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是α+2β=0;
(2)已知α=1,β=, a1=1,a2=,求證:數(shù)列{| an+1-an-1|} (n∈N*,n≥2)與數(shù)列{n+} (n∈N*)中沒有相同數(shù)值的項.
(1)等差數(shù)列的定義的運用,主要是根據(jù)相鄰兩項的差為定值來證明即可。
(2)由已知得,可知數(shù)列(n∈N*)為等比數(shù)列,進(jìn)而得到,然后結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)來得到。
解析試題分析:(1)解:已知數(shù)列,.
①充分性:若,則有,得
,所以為等差數(shù)列. 4分
②必要性:若為非常數(shù)等差數(shù)列,可令(k≠0). 代入
,得.
化簡得,即.
因此,數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是α+2β=0. 8分
(2)由已知得. 10分
又因為,可知數(shù)列(n∈N*)為等比數(shù)列,所以 (n∈N*).
從而有n≥2時, ,.
于是由上述兩式,得 (). 12分
由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知,對于任意n≥2,| an+1-an-1|=·≤·=.
所以,數(shù)列中項均小于等于.
而對于任意的n≥1時,n+≥1+>,所以數(shù)列{n+}(n∈N*)中項均大于.
因此,數(shù)列與數(shù)列{n+}(n∈N*)中沒有相同數(shù)值的項.
16分
考點:等差數(shù)列,等比數(shù)列
點評:解決的關(guān)鍵是對于概念的準(zhǔn)確運用,以及利用函數(shù)的性質(zhì)來證明數(shù)列之間的關(guān)系。屬于中檔題。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(1)已知等差數(shù)列中,,求的公差;
(2)有三個數(shù)成等比數(shù)列,它們的和等于14,它們的積等于64,求該數(shù)列的公比.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本題滿分16分)
已知數(shù)列,其中是首項為1,公差為1的等差數(shù)列;是公差為的等差數(shù)列;是公差為的等差數(shù)列().
(Ⅰ)若= 30,求;
(Ⅱ)試寫出a30關(guān)于的關(guān)系式,并求a30的取值范圍;
(Ⅲ)續(xù)寫已知數(shù)列,可以使得是公差為3的等差數(shù)列,請你依次類推,把已知數(shù)列推廣為無窮數(shù)列,試寫出關(guān)于的關(guān)系式(N);
(Ⅳ)在(Ⅲ)條件下,且,試用表示此數(shù)列的前100項和
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
等差數(shù)列的前項和為,且.
(1)數(shù)列滿足:求數(shù)列的通項公式;
(2)設(shè)求數(shù)列的前項和.
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