Question

已知數(shù)列{a_n}、{b_n}，滿足b_n=log₂a_n（n∈N^*），且{b_n}為等差數(shù)列，a₁=2，a₃=8．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）試比較

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

與1的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用已知條件求出b_n，然后通過(guò)b_n=log₂a_n，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求出

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

的和即可與1比較大�。�

解答： 解：（1）數(shù)列{a_n}、{b_n}，滿足b_n=log₂a_n（n∈N^*），且{b_n}為等差數(shù)列，a₁=2，a₃=8．
∴b₁=1
b₂=3，d=2，b_n=2n-1，
∴2n-1=log₂a_n，
∴a_n=2^2n-1．
（2）

1

an+1-an

=

1

22n+1-22n-1

=

1

3•22n-1

，
∴

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

=

1

3

(

1

2

+

1

23

+…+

1

22n-1

)=

1

3

×

1 2 (1-( 1 4 )n)

1- 1 4

=

2

9

-

2

9

•(

1

4

)n＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列求和，通項(xiàng)公式的求法，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查計(jì)算能力．