已知離心率為
3
2
的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞o）過點M（2，1），O為坐標原點，平行于OM的直線l交橢圓于C不同的兩點A，B．
（1）求橢圓的C方程．
（2）證明：若直線MA，MB的斜率分別為k1、k2，求證：k1+k2=0．
（1）設橢圓C的方程為：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)．
由題意得：
c
a
=
3
2
①
a2=b2+c2②
4
a2
+
1
b2
=1③
，
把①代入②得：a2=4b2④．
聯(lián)立③④得：a2=8，b2=2．
∴橢圓方程為
x2
8
+
y2
2
=1．
（2）證明：∵M（2，1），∴kOM=
1
2

又∵直線l∥OM，可設l：y=
1
2
x+m，將式子代入橢圓C得：x2+4(
1
2
x+m)2-8=0，
整理得：x2+2mx+2m2-4=0．
設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4．
設直線MA、MB的斜率分別為k1、k2，則k1=
y1-1
x1-2
，k2=
y2-1
x2-2
．
下面只需證明：k1+k2=0，
事實上，k1+k2=
1
2
x1+m-1
x1-2
+
1
2
x2+m-1
x2-2

=
1
2
(x1-2)+m
x1-2
+
1
2
(x2-2)+m
x2-2

=1+m(
1
x1-2
+
1
x2-2
)
=1+m•
x1+x2-4
x1x2-2(x1+x2)+4

=1+m•
-2m-4
2m2-4-2(-2m)+4

=1-
2m2+4m
2m2+4m

=0．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的左、右焦點分別是F1、F2，離心率為
3
2
，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1；
（Ⅰ）求橢圓C的方程．
（Ⅱ）若A，B，C是橢圓上的三個點，O是坐標原點，當點B是橢圓C的右頂點，且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積．
（Ⅲ）設點p是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接PF1、PF2，設∠F1PF2的角平分線PM交橢圓C的長軸于點M（m，0），求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示的曲線C是由部分拋物線C1：y=x2-1（|x|≥1）和曲線C2：x2+
y2
m
=1（y≤0，m＞0）“合成”的，直線l與曲線C1相切于點M，與曲線C2相切于點N，記點M的橫坐標為t（t＞1），其中A（-1，0），B（1，0）．
（1）當t=
2
時，求m的值和點N的坐標；
（2）當實數(shù)m取何值時，∠MAB=∠NAB？并求出此時直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知點B（0，1），A，C為橢圓C：
x2
a2
+y2=1（a＞1）上的兩點，△ABC是以B為直角頂點的直角三角形．
（1）△ABC能否為等腰三角形？若能，這樣的三角形有幾個？
（2）當a=2時，求線段AC的中垂線l在x軸上截距的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點為F1，F(xiàn)2，離心率為
2
2
，以線段F1F2為直徑的圓的面積為π，設直線l過橢圓的右焦點F2（l不垂直坐標軸），且與橢圓交于A、B兩點，
（1）求橢圓的方程；
（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點M（m，0），試求m的取值范圍；
（3）求△ABF1面積的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓G：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
6
3
，右焦點為（2
2
，0）．斜率為1的直線l與橢圓G交于A，B兩點，以AB為底邊作等腰三角形，頂點為P（-3，2）．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的左、右焦點坐標分別是(-
2
，0)，(
2
，0)，離心率是
6
3
，直線y=t橢圓C交與不同的兩點M，N，以線段為直徑作圓P，圓心為P．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若圓P與x軸相切，求圓心P的坐標；
（Ⅲ）設Q（x，y）是圓P上的動點，當T變化時，求y的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設橢圓M：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）經過點P(1，
2
)，其離心率e=
2
2
．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）直線l：y=
2
x+m交橢圓于A、B兩點，且△PAB的面積為
2
，求m的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

橢圓E的中心在原點O，焦點在x軸上，離心率e=
2
3
，過點C（-1，0）的直線l交橢圓于A、B兩點，且滿足：
CA
=λ
BC
（λ≥2）．
（1）若λ為常數(shù)，試用直線l的斜率k（k≠0）表示三角形OAB的面積；
（2）若λ為常數(shù)，當三角形OAB的面積取得最大值時，求橢圓E的方程；
（3）若λ變化，且λ=k2+1，試問：實數(shù)λ和直線l的斜率k（k∈R）分別為何值時，橢圓E的短半軸長取得最大值？并求出此時的橢圓方程．

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