Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)x＞0時，f（x）=2015^x+log₂₀₁₅x，則方程f（x）=0的實根的個數(shù)為（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、5

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：當(dāng)x＞0時，f（x）=2015^x+log₂₀₁₅x，令2015^x+log₂₀₁₅x=0，即2015^x=-log₂₀₁₅x．分別作出函數(shù)：y=2015^x，y=-log₂₀₁₅x，利用單調(diào)性可得有且只有一個交點，即只有一個零點．利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得：當(dāng)x＜0時，方程f（x）=0的實根的個數(shù)是1．又f（0）=0．即可得出．

解答： 解：當(dāng)x＞0時，f（x）=2015^x+log₂₀₁₅x，令2015^x+log₂₀₁₅x=0，即2015^x=-log₂₀₁₅x，
分別作出函數(shù)：y=2015^x，y=-log₂₀₁₅x，利用單調(diào)性可得有且只有一個交點，即只有一個零點．
由于是R上的奇函數(shù)f（x），同理可得當(dāng)x＜0時，方程f（x）=0的實根的個數(shù)是1．
又f（0）=0．
綜上可得：方程f（x）=0的實根的個數(shù)為3．
故選：C．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查了推理能力，屬于中檔題．