Question

已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=2ⁿ+c．
（Ⅰ）求c的值并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若b_n=S_n+2n+1，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知令n=1可求a₁，利用n≥2時(shí)，a_n=s_n-s_n-1，再由等比數(shù)列的定義求出c，則求出首項(xiàng)，再求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和b_n=S_n+2n+1求出b_n，再由分組求和法和等比（等差）數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由S_n=2ⁿ+c得，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1，…（2分）
 當(dāng)n=1時(shí)，S₁=2¹+c=2+c=a₁，
∵數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，
∴

a2

a1

=

2

2+c

=

a3

a2

=2　…（4分）
解得c=-1，則a₁=1   …（5分）
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式：an=2n-1　…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得S_n=2ⁿ-1，∴b_n=S_n+2n+1=2ⁿ+2n   …（8分）
則T_n=（2¹+2²+2³+…+2ⁿ）+2（1+2+3+…+n）　…（9分）
=

2(1-2n)

1-2

+2×

n(1+n)

2

=2ⁿ⁺¹-2+n（n+1）
=2ⁿ⁺¹+n²+n-2　…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，等比（等差）數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，以及分組求和法，屬于中檔題．