Question

已知兩點(diǎn)A（-1，0），B（0，2），點(diǎn)P是圓（x-1）²+y²=1上任意一點(diǎn)，求△PAB面積的最大值與最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：設(shè)P點(diǎn)到AB的距離是h，則S_△PAB=

1

2

•AB•h，其中AB是定值，要求S的最大最小值就是求h的最大最小值，而這個(gè)最大最小值的發(fā)生點(diǎn)自然是在和AB平行的兩條切線和圓的切點(diǎn)，而這兩個(gè)切點(diǎn)也必定通過(guò)圓心到AB的垂線上，由此能求出△PAB面積的最大值和最小值．

解答： 解：設(shè)P點(diǎn)到AB的距離是h，
則S_△PAB=

1

2

•AB•h，其中AB是定值，要求S的最大最小值就是求h的最大最小值，
而這個(gè)最大最小值的發(fā)生點(diǎn)自然是在和AB平行的兩條切線和圓的切點(diǎn)，
而這兩個(gè)切點(diǎn)也必定通過(guò)圓心到AB的垂線上，
設(shè)圓心是C，那么C的坐標(biāo)是（1，0），設(shè)C到AB的垂線交AB于D，
AB的斜率k_AB=

2-0

0+1

=2，因此CD的斜率k_CD=-

1

2

，
|AB|=

1+4

=

5

，
AB的直線方程為：y=2（x+1），（i）
CD的直線方程為：y=-

1

2

（x-1），（ii）
聯(lián)立（i）（ii）便可得到D的坐標(biāo)：x_d=-

3

5

，y_d=

4

5

，
∴CD=

(1+ 3 5 )2+( 4 5 )2

=

4 5

5

，
∴h的最小值=CD-1=

4 5

5

-1，最大值=

4 5

5

+1，
∴△PAB面積的最小值=

1

2

×

5

×(

4 5

5

-1)=2-

5

2

，
△PAB面積的最大值=

1

2

×

5

×(

4 5

5

+1)=2+

5

2

．
∴△PAB面積的最大值和最小值分別是2+

5

2

，2-

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形面積的最大值和最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意兩點(diǎn)間距離公式的合理運(yùn)用．