Question

證明：?n∈N⁺，ln（

1

n

+1）＞

1

n2

-

1

n3

恒成立．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的基本性質(zhì)

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：首先，構(gòu)造函數(shù)f（x）=x³-x²+ln（1+x），然后，求解導(dǎo)數(shù)，判斷其單調(diào)性f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，然后，得到f（x）＞f（0）=0，最后，令x=

1

n

上式也成立，所以命題得證．

解答： 證明：∵f（x）=x³-x²+ln（1+x）
則f'（x）=

3x2+(x-1)2

x+1

，
當(dāng)x＞0時(shí)g'（x）＞0恒成立，
于是f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）＞f（0）=0
而

1

n

∈（0，1]，所以令x=

1

n

上式也成立，
∴l(xiāng)n（

1

n

+1）-

1

n2

+

1

n3

＜0恒成立．
上式化簡(jiǎn)即得ln（

1

n

+1）＞

1

n2

-

1

n3

恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式等知識(shí)，屬于中檔題，解題關(guān)鍵是輔助函數(shù)．