Question

已知函數(shù)y=ax²+2x+1，當(dāng)x∈[1，2]，總有y∈[1，4]則a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)已知條件便有1≤ax²+2x+1≤4在x∈[1，2]上恒成立，從而a≤

-2x+3

x2

，且a≥

-2

x

恒成立，所以通過求導(dǎo)，判斷出函數(shù)

-2x+3

x2

和

-2

x

在[1，2]上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性分別求這兩個函數(shù)的最小值，最大值即可得出a的取值范圍．

解答： 解：：∵y∈[1，4]
∴1≤ax²+2x+1≤4
 從而得到a≤

-2x+3

x2

，且a≥

-2

x

對于任意x∈[1，2]恒成立；
設(shè)f（x）=

-2x+3

x2

，g（x）=

-2

x

；
∴f′(x)=

-2(x2-2x+3)

x3

=

-2(x-1)2-4

x3

＜0，g′（x）=

2

x2

＞0；
∴f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，f（x）在[1，2]上的最小值為f（2）=-

1

4

；
g（x）在[1，2]上是增函數(shù)，g（x）的最大值為g（2）=-1；
∴a≤-

1

4

，且a≥-1；
∴a的取值范圍為[-1，-

1

4

]．
故答案為：[-1，-

1

4

]．

點(diǎn)評：考查函數(shù)定義、值域的概念，以及根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值的方法．