Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)M與曲線C_i上任意一點(diǎn)距離的最小值為d_i（i=1，2），若d₁＜d₂，則稱C₁比C₂更靠近點(diǎn)M，下列為假命題的是（　�。�

• A、C₁：x=0比C₂：y=0更靠近M（1，-2）
• B、C₁：y=e^x比C₂：xy=1更靠近M（0，0）
• C、若C₁：（x-2）²+y²=1比C₂：x²+（y-2）²=1更靠近點(diǎn)M（m，2m），則m＞0
• D、若m＞1，則C₁：y²=4x比C₂：x-y+m=0更靠近點(diǎn)M（1，0）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,直線與圓

分析：運(yùn)用新定義，由兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算即可判斷A；
運(yùn)用曲線的對(duì)稱性和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，判斷單調(diào)性和極值以及最值，結(jié)合兩點(diǎn)的距離公式，
二次函數(shù)的最值，即可判斷B；
運(yùn)用直線和圓的位置關(guān)系，結(jié)合新定義，即可判斷C；
運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和二次函數(shù)的最值，即可判斷D．

解答： 解：對(duì)于A．d₁=|1-0|=1，d₂=|0-（-2）|=2，d₁＜d₂，則為真命題；
對(duì)于B．由對(duì)稱性可得，C₂：xy=1關(guān)于直線y=x對(duì)稱，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，0），
交點(diǎn)為（1，1），（-1，-1），則d₂=

(0-1)2+(0-1)2

=

2

，由于y=e^x-x-1的導(dǎo)數(shù)為e^x-1，
當(dāng)x＞0時(shí)，導(dǎo)數(shù)大于0，當(dāng)x＜0時(shí)，導(dǎo)數(shù)小于0，則x=0為極小值點(diǎn)們也為最小值點(diǎn)，
則有e^x≥x+1，設(shè)C₁：y=e^x上任一點(diǎn)P（x，e^x），即|OP|=

x2+(ex)2

≥

x2+(x+1)2

=

2x2+2x+1

=

2(x+ 1 2 )2+ 1 2

≥

2

2

，即有d₁=

2

2

＜d₂，則B為真命題；
對(duì)于C．由于點(diǎn)M（m，2m）在直線y=2x上，C₂：x²+（y-2）²=1為圓心（0，2），
半徑為1的圓，圓心到直線的距離為

2

1+4

＜1即直線和圓C₂相交，
即有交點(diǎn)到M的距離為0，而C₁：（x-2）²+y²=1為圓心（2，0），半徑為1的圓
圓心到直線的距離為

4

1+4

＞1，即有直線和圓C1相離，d₁＞0，則有d₁＞d₂，則C為假命題；
對(duì)于D．設(shè)P（x，y）為C₁：y²=4x上的點(diǎn)，則|PM|=

y2+( y2 4 -1)2

=

1 16 (y2+4)2

≥1，y=0時(shí)，d₁=1；
由于m＞1，則M到C₂：x-y+m=0的距離d₂=

|1-0+m|

2

≥

2

，則有d₁＜d₂，則D為真命題．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查兩點(diǎn)的距離和點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用，考查點(diǎn)與圓和直線與圓的位置關(guān)系，以及二次函數(shù)的最值求法，屬于中檔題和易錯(cuò)題．