在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)B（1，0）圓A：（x+1）2+y2=16，動(dòng)點(diǎn)P在圓A上，線段BP的垂直平分線AP相交點(diǎn)Q，設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)D（3，0）作直線l，直線l依次交曲線C于不同兩點(diǎn)E、F，設(shè)
DE
=λ
DF
，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（Ⅰ）由已知|QP|=|QB|，所以|AQ|+|QB|=|AQ|+|QP|=|AP|=4＞|AB|，利用橢圓的定義，可求點(diǎn)求曲線C的方程；
（Ⅱ）分類討論，設(shè)出直線的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，表示出λ+
1
λ
，即可求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
解答： 解：（Ⅰ）由已知|QP|=|QB|，所以|AQ|+|QB|=|AQ|+|QP|=|AP|=4＞|AB|，
所以點(diǎn)Q的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸為4的橢圓，2a=4，2c=2，
所以a=2，c=1，所以b=
3
，
所以Q點(diǎn)的軌跡方程為
x2
4
+
y2
3
=1；   
（Ⅱ）若直線l為y=0，則E（2，0），F(xiàn)（-2，0），
DE
=（-1，0），
DF
=（-5，0），
∵
DE
=λ
DF
，
∴λ=
1
5
；
若直線l：x=my+3，設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），
直線代入橢圓方程得（3x2+4）y+18my+15=0，
由△＞0可得m2＞
5
3
，
由韋達(dá)定理可得y1+y2=-
18m
3m2+4
，y1y2=-
15
3m2+4
，
∵
DE
=λ
DF
，
∴λ=
y1
y2
，
∴λ+
1
λ
=
(y1+y2)2
y1y2
-2=
108m2
5(3m2+4)
-2=
26
5
-
144
15m2+20
，
∴2＜λ+
1
λ
＜
26
5
，
∴
1
5
＜λ＜1，
綜上所述，實(shí)數(shù)λ的取值范圍是[
1
5
，1）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知α為第三象限角，且f（α）=
sin(π-α)cos(2π-α)tan(-α+
3π
2
)
cot(-α-π)sin(-π-α)
．
（1）化簡(jiǎn)f（α）；
（2）若cos（α-
3π
2
）=
1
5
，求f（α）的值；
（3）若α=-1860°，求f（α）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若對(duì)任意a∈[3，4]，函數(shù)f（x）在R上都有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：?x∈D，?常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)的上界．
（1）試判斷函數(shù)f（x）=x3+
3
x
在[
1
2
，3]上是否是有界函數(shù)？
（2）若某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為S（t）=
1
t+1
+
1
2
a（t+1）2，要使對(duì)t∈[0，+∞）上的每一時(shí)刻的瞬時(shí)速度S′（t）是以M=1為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

命題p：?x∈R，cos2x+sinx≥2m2-m-7；命題q：mx2+2x-1＞o的解集非空．若“p且q”是假命題，┐p也是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍：
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=-x3+6x2-9x+m在區(qū)間[0，4]上的最小值為2，求它在該區(qū)間上的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx-
1
2
x+ln
e
2
，g（x）=
3x
2
-
2
x
-f（x）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)h（x）=x2-mx+4，若存在x1∈（0，1]，對(duì)任意的x2∈[1，2]，總有g(shù)（x1）≥h（x2）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)兩個(gè)向量
e1
，
e2
，滿足|
e1
|=1，|
e2
|=1，
e1
，
e2
滿足向量
a
=k
e1
+
e2
，
b
=
e1
-k
e2
，若
e1
與
e2
的數(shù)量積用含有k的代數(shù)式f（k）表示．若|
a
|=
3
|
b
|．
（1）求f（k）；
（2）若
e1
與
e2
的夾角為60°，求k值；
（3）若
a
與
b
的垂直，求實(shí)數(shù)k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

命題p：函數(shù)y=log2+ax為減函數(shù)；命題q：關(guān)于x的方程x2-ax+
1
2
=0有解．若命題p和q中有且僅有一個(gè)為真命題，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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