【題目】(2015·四川）如圖，橢圓E：的離心率是，過點P（0,1）的動直線l與橢圓相交于A，B兩點，當(dāng)直線l平行與x軸時，直線l被橢圓E截得的線段長為2.

（1）求橢圓E的方程；
（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，是否存在與點P不同的定點Q，使得恒成立？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】
（1）


（2）

存在，Q點的坐標(biāo)為Q（0,2）


【解析】由已知，點（，1）在橢圓E上， 因此, 解得a=2, b=, 所以橢圓的方程為。 （2）當(dāng)直線l與x軸平行時，設(shè)直線x與橢圓相交于C, D兩點如果存在定點Q滿足條件，則, 即所以Q點在y軸上，可設(shè)Q點的坐標(biāo)為(0,y0), 當(dāng)直線l與x軸垂直時，設(shè)直線l與橢圓相交于M,N兩點， 則M（0， ）， N（0，-）。由, 有=, 解得y0=1或y0=2， 所以，若存在不同于點P的定點Q滿足條件，則Q點的坐標(biāo)只可能為Q(0，2), 下面證明:對任意的直線l均有,當(dāng)直線的斜率l不存在時，由上可知，結(jié)論成立.
當(dāng)直線l的斜率存在時，可設(shè)直線l的方程為y=kx+1的坐標(biāo)分別為(x1, y1),(x2, y2), 聯(lián)立, 得（2k2+1)x2+4kx-2=0. 其判別式△=16k2+8(2k2+1)>0, 所以x1+x2=-, x1·x2=-，因此+==2k, 易知，點B關(guān)于:一軸對稱的點的坐標(biāo)為B'(-x2, y2)

又KQA==k-, KQB==-k+=k-, 所以KQA= KQB ， 即Q,A,B'三點共線， 所以=,故存在故存在與P不同的定點Q（0,2），使得恒成立。
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知函數(shù)f（x）=2lnx+ax﹣ （a∈R）在x=2處的切線經(jīng)過點（﹣4，2ln2）
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性
（2）若不等式 恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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【題目】(2015·新課標(biāo)I卷）已知函數(shù)f（x）=x3+ax+, g(x)=-lnx.
（1）當(dāng)a為何值時，x軸為曲線y=f(x)的切線；
（2）用min{m,n} 表示m,n中的最小值，設(shè)函數(shù)h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),，討論h（x）零點的個數(shù).

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【題目】(2015·四川）一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示.

（1）請按字母F ， G ， H標(biāo)記在正方體相應(yīng)地頂點處(不需要說明理由)
（2）判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系.并說明你的結(jié)論.
（3）證明：直線DF⊥平面BEG

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【題目】(2015·四川）已知函數(shù)f(x)=2x ， g(x)=x2+ax（其中aR）.對于不相等的實數(shù)x1, x2 ， 設(shè)m=，n=.
現(xiàn)有如下命題：
（1）對于任意不相等的實數(shù)x1, x2 ， 都有m>0；
（2）對于任意的a及任意不相等的實數(shù)x1, x2 ， ，都有n>0；
（3）對于任意的a ， 存在不相等的實數(shù)x1, x2 ， 使得m=n；
（4）對于任意的a ， 存在不相等的實數(shù)x1, x2 ， 使得m=-n.
其中的真命題有 （寫出所有真命題的序號）.

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【題目】(2015·陜西）隨機抽取一個年份，對西安市該年4月份的天氣情況進(jìn)行統(tǒng)計，結(jié)果如下：

日期

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

天氣

晴

雨

陰

陰

陰

雨

陰

晴

晴

晴

陰

晴

晴

晴

晴

日期

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

天氣

晴

陰

雨

陰

陰

晴

陰

晴

晴

晴

陰

晴

晴

晴

雨


（1）在4月份任取一天，估計西安市在該天不下雨的概率；
（2）西安市某學(xué)校擬從4月份的一個晴天開始舉行連續(xù)兩天的運動會，估計運動會期間不下雨的概率.

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【題目】(2015·陜西）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，c的極坐標(biāo)方程為=2sin ．
（1）寫出c的直角坐標(biāo)方程；
（2）P為直線l上一動點，當(dāng)P到圓心C的距離最小時，求P的直角坐標(biāo)．

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【題目】(2015·湖南）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn ， 已知a1=1, a2=2，且an+1=3Sn-Sn+1+3(n)
（1）證明：an+2=3an；
（2）求Sn

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【題目】對于函數(shù)，下列命題：①時，為奇函數(shù)；②的圖象關(guān)于中心對稱；③，時，方程只有一個實根；④方程至多有兩個實根，其中正確的個數(shù)有　　

A.1個B.2個C.3個D.4個

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